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Noções de Matemática Financeira - Parte I

INTRODUÇÃO
De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira pois, busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo (time value money). As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira, são: a taxa de juros, o capital e o tempo.
Devemos entender como Juros, a remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J ) = preço do crédito.
A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:
1 - inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo.
2 - risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento.
3 - aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram ganhar dinheiro! Eh eh eh eh ...
Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo. 
Assim por exemplo, se os juros anuais correspondentes a uma dívida de R$2000,00 (Principal = P) forem R$200,00 (Juros = J), a taxa de juros anual ( i ) será 200/2000 = 0,10 = 10% ao ano. Indica-se: i = 10% a.a.
Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, etc., motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado.
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido (veremos em outro artigo, que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau - crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente - segundo uma função exponencial)
Por enquanto é só!
Aguarde a seqüência deste assunto, que será abordado aqui, ao nível do 2º grau.


 













Noções de Matemática Financeira - Parte II

Resumo da Teoria
Juros Simples
O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante.
Considere o capital inicial C aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos.
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:
J = C . i . n
J = juros produzidos depois de n períodos à uma taxa de juros por período igual a i.
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos:
M = C + J = C + C.i.n = C(1 + i.n)
Portanto, M = C(1+in).
Exemplo:
A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco 
anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução:
Temos: C = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto, M = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00.
A fórmula J = Cin, onde C e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos:
Façamos C.i = k.
Termos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que C. i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?).
Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n, são grandezas diretamente proporcionais. Daí, infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto C.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn.
Exercício proposto:
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
Resp: $46000,00








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Noções de Matemática Financeira - Parte III

Vimos no artigo anterior, que se o capital C for aplicado por n períodos, a uma taxa de juros simples i, ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Cin e que o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = C(1 + in).
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n tem de ser referidos à mesma unidade de tempo.
Assim, por exemplo se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos coloca-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.
Exemplos:
E01 - Quais os juros produzidos pelo capital $12000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos?
SOLUÇÃO:
Temos que expressar i e n em relação à mesma unidade de tempo.
Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses):
i = 10% a.b = 10/100 = 0,10
n = 5 anos = 5.6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres)
Então: J = $12000.0,10.30 = $36000,00
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses.
Teríamos:
i = 10% a.b = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05
n = 5 anos = 5.12 = 60 meses
Então: J = $12000,00.0,05.60 = $36000,00
E02 - Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
SOLUÇÃO:
Temos: M = C(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2C. Logo, vem:
2C = C(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05.
Simplificando, fica:
2 = 1 + 0,05n Þ 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses.
Exercício proposto:
Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?
Resp: 20 anos.