NOÇÕES DE PROBABILIDADE
1 - INTRODUÇÃO
Chama-se EXPERIMENTO ALEATÓRIO àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado ESPAÇO AMOSTRAL. Qualquer subconjunto desse ESPAÇO AMOSTRAL é denominado EVENTO.
Obs: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrencia de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrencia de cada uma dessas possibilidades, denominada PROBABILIDADE.
Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior PROBABILIDADE de ocorrer do que o evento "sair bola branca".
2 - Conceito de Probabilidade
Seja U um espaço amostral finito e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrencia do evento A será calculada pela fórmula p(A) = n(A) / n(U), onde n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.
Vamos utilizar a fórmula simples acima para resolver os seguintes exercícios introdutórios:
1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a. sair o número 3:Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6.
b. sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2.
c. sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3.
d. sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.
e. sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.
1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:
a. sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) e (6,2).
Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36.
b. sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/36.
1.3 - Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:
a. sair bola azul
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%
b. sair bola vermelha
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%
c. sair bola amarela
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%
Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados.
3 - Propriedades
P1: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (f ), teremos:
p(f ) = n(f )/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.
P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade.
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.
P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1].
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.
P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar ` A. Sabemos que A È ` A = U.
n(AÈ ` A) = n(U) e, portanto, n(A) + n(` A) = n(U). Dividindo ambos os membros por n(U), vem: n(A)/n(U) + n(` A)/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(` A) = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.
P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(AÈ B) = p(A) + p(B) - p(AÇ B)
Observe que se AÇ B=Æ , ENTÃO p(AÈ B) = p(A) + p(B).
Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que
n(AÈ B) = n(A) + n(B) - n(AÇ B)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima.
Exercício resolvido:
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000
pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?
SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(U) = N(JÈ P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(J) + N(P) - N(JÇ P) + 800
n(U) = 5000 + 4000 - 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.
A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).
4 - Probabilidade condicional
Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrencia de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada PROBABILIDADE CONDICIONAL e é indicada por p(A/B) - probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B - daí, o nome de probabilidade condicional.
Teremos então:
p(A/B) = n(AÇ B)/n(B)
Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:
Ora, a expressão acima, pode ser escrita sem nenhum prejuízo da elegância, nem do rigor, como:
p(A/B) = [n(AÇ B)/n(U)] . n(U)/n(B)]
p(A/B) = p(AÇ B) . 1/p(B)
Vem, então: P(A/B) = p(AÇ B)/p(B), de onde concluímos finalmente:
p(AÇ B) = p(A/B).p(B)
Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrencia SIMULTÂNEA dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.
Se a ocorrencia do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrencia do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos INDEPENDENTES, e a fórmula acima fica:
p(AÇ B) = p(A) . p(B)
Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrencia simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.
Exemplo:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
a. em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
Solução:
p(VÇ B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(VÇ B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%
b. em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola
vermelha e depois uma bola branca.
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(VÇ B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.
EXERCÍCIOS
1- Uma urna contém 10 bolas verdes, 8 vermelhas, 4 amarelas, 4 pretas e cinco brancas, todas de mesmo raio. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser: a) não verde , b) não-branca ou vermelha ,c) vermelha ou preta d) verde ,vermelha ou amarela.
2- Três meninos e três meninas sentam-se em fila. encontre a probabilidade das três meninas sentarem juntas.
3- Uma urna contém 15 cartões enumerados de 1 a 15. Um cartão é retirado aleatoriamente. Qual a probabilidade de o número no cartão ser múltiplo de 3?
4- Joga-se um dado branco e um dado preto. Calcule a probabilidade de:
ocorrer soma 6 b) ocorrer soma 11 c) ocorrer soma 2 d) não ocorrer nem soma 2 e nem 8.
5- Uma carta é retirada de uma baralho comum de 52 cartas. Qual a probabilidade de:
sair uma carta vermelha b)sair uma carta de copas c) sair um rei ou uma carta de copas.
6- Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1,2,3,...,30. Qual a probabilidade de:
o número ser divisível por 3 b) o número ser divisível por 5 c) o número ser divisível por 5 ou por 3 d) o número não ser divisível nem por 3 e nem por cinco.
7- Duas bolas são retiradas ao acaso de uma urna que contém 20 alaranjadas, 7 verdes , 10 pretas e 5 brancas. Qual a probabilidade delas serem:
a) Alaranjadas b) pretas c) verdes d) brancas e) ambas da mesma cor f) pelo menos uma preta
8- Uma urna contém 5 bolas brancas e 8 pretas. Se forem retiradas dessa urna 2 bolas sucessivamente, ou seja, não sendo as bolas recolocadas, depois retiradas, qual a probabilidade de que ambas sejam brancas?
9- Sejam os eventos A, B e C. encontre uma expressão e mostre o diagrama de Venn para o evento em que:
exatamente um dos eventos ocorre, b) pelo menos um evento ocorre , c) nenhum evento ocorre ,d) A ou B ocorre, mas C não.
10- Lance duas moedas e um dado. Qual a probabilidade de aparecerem duas caras e um número par?
11- Uma moeda é viciada, de maneira que as caras são 3 vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Se esta moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de ocorrer cara apenas uma vez?
12- Das 8 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de: a) ambas terem olhos azuis, b) nenhuma ter olhos azuis, c) pelo menos uma ter olhos azuis?
13- Três parafusos e três porcas são colocados numa caixa. Se duas peças são retiradas aleatoriamente, encontre a probabilidade de uma ser parafuso e a outra porca.
14- De 120 estudantes, 70 estudam matemática, 80 estudam português e 40, matemática e português. Se um estudante é escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade dele:
a) Estudar matemática ou português ,b) só estudar português ,c) só estudar matemática , d) não estudar matemática , e) não estudar nem português e nem estudar matemática.
15- Um dado é lançado. Se o número é ímpar, qual a probabilidade dele ser primo?
16- Três moedas não viciadas são lanças. Se ocorrem caras e coroas, determine a probabilidade de ocorrer exatamente duas coroas.
17- Um par de dados é lançado. Se ocorrem números diferentes, encontre a probabilidade de a soma ser um número primo.
18- Um homem tem em sua mão quatro cartas vermelhas. Qual a probabilidade de elas serem todas do mesmo naipe, isto é, copas ou ouros?
19- Dois dígitos diferentes são selecionados aleatoriamente dos dígitos de 1 a 9. Se a soma é ímpar, qual a probabilidade do número 2 ser um dos números selecionados?
20- Numa classe há 10 meninos e 15 meninas. Três estudantes são selecionados aleatoriamente, um após o outro. Encontre a probabilidade: a) dos dois primeiros serem meninos e o terceiro menina, b) do primeiro e do terceiro serem meninos, c) do primeiro e do terceiro serem do mesmo sexo e o segundo do sexo oposto.
21- Numa certa cidade 40% da população gostam de futebol, 25% gostam de telenovela e 15% de ambos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente:
a)Se ela gosta de futebol, qual a probabilidade de também gostar de telenovela.
b)Se ela gosta de futebol, qual a probabilidade de não gostar de telenovela.
c)Qual a probabilidade de não gostar nem de futebol e nem de telenovela.
22- Em certo colégio, 25% dos meninos e 10% das meninas estão estudando informática. As meninas constituem 40% do corpo de estudantes. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e está estudando informática. Qual a probabilidade de ele ser um menino?
23- São dadas as urnas:
A urna A contém 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis.
A urna B contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas.
Lança-se um dado honesto; se ocorre 4 ou 6, uma bola é escolhida de A, caso contrário uma bola é escolhida de B. Encontre a probabilidade de: a) uma bola vermelha ser escolhida , b) uma bola branca ser escolhida , c) uma bola azul ser escolhida. d) Se uma bola vermelha é escolhida, qual a probabilidade de ter vindo da urna A?
24- Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas bolas da outra cor são colocadas na urna. Uma segunda bola então é selecionada. Encontre a probabilidade de ambas as bolas serem da mesma cor?
25- A urna I contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas, e a urna II contém 2 bolas brancas e 6 vermelhas.
Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor?
26- Uma caixa contém 3 bolas azuis e 5 vermelhas, e outra caixa contém 8 bolas azuis e 7 vermelhas. Extrai-se ao acaso uma bola de uma das caixas: é azul. Qual a probabilidade de ter sido extraída da primeira caixa?
27- Em uma joalheria, cada um dos três armários idênticos tem duas gavetas. Em cada gaveta do primeiro armário há um relógio de ouro. Em cada gaveta do segundo armário há um relógio de prata. Em uma gaveta do terceiro armário há um relógio de ouro, enquanto que na outra gaveta há um relógio de prata. Escolhido ao acaso um armário, e aberta uma das gavetas, verifica-se conter um relógio de prata. Qual a probabilidade de a outra gaveta do armário escolhido conter um relógio de ouro?
28- A urna I contém 2 bolas brancas e 3 pretas; a urna II, 4 brancas e 1 preta; a urna III 3 brancas e 4 pretas. Escolhe-se uma urna ao acaso e extrai-se uma bola: é branca. Qual a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna?
29- Uma caixa contém 9 fichas numeradas de 1 a 9. Extraem-se três sucessivamente. Determine a probabilidade de serem alternadamente, ímpar - par - ímpar ou par - ímpar - par.
30- Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 8 azuis. Extraem-se cinco ao acaso , sem reposição. determinar a probabilidade de serem 3 vermelhas e 2 azuis.
31- Extraem-se três cartas de um baralho usual de 52 cartas. Determinar a probabilidade de:
serem todas do mesmo naipe b) saírem ao menos dois ases.
32- Joga-se repetidas vezes um par de dados. Determinar a probabilidade de aparecer a soma 11 pela primeira vez na sexta jogada.
33- Determinar a probabilidade de obter a soma 7 em ao menos uma vez dentre três jogadas de um par de dados.
34- Uma moeda é lançada até que ocorra coroa. Qual a probabilidade dela ser lançada 10 vezes?
35- A probabilidade de um indivíduo atingir um alvo é 2/3. Se ele deve atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Qual a probabilidade de serem necessários cinco tiros?
36- A caixa A contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas, e a caixa B, 4 vermelhas e 2 brancas. Extraí-se ao acaso uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B, sem observar a cor. Extrai-se então uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de ser branca?
37- Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro problema , 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
Não tenha acertado nenhum problema b) tenha acertado apenas o segundo problema c) tenha acertado a pelo menos um problema.
38- Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B, C, constatou-se que entre 2000 famílias, assinam:
A: 500, B: 450 , C: 350, A e B : 120, A e C : 220, B e C 150 e 80 assinam os três. Escolhendo-se acaso
uma família, qual a probabilidade de que ela:
Assine pelo menos um jornal b) não assine nenhum dos três jornais c) assine apenas um dos três jornais.
39- Vinte pessoas estão em uma sala usando crachás numerados de 1 a 20. Três pessoas são escolhidas ao acaso e retiradas da sala. Os números de seus crachás são anotados. qual a probabilidade de que o menor número seja 7?
40- Temos quatro números positivos e seis negativos. Escolhemos 4 números ao acaso e efetuamos o produto deles. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?
41- Cinco cartas vão ser retiradas de um baralho de 52 cartas. Calcular a probabilidade de que as cinco cartas sejam do mesmo naipe?
42- Uma gaveta contém 5 pares de meias verdes e 8 pares de meias brancas. Tiram-se duas meias ao acaso. Qual a probabilidade de se formar:
Um par verdes? , b) um par de meias da mesma cor?, c) um par com meias de cores diferentes?
43- Uma sala possui 3 soquêtes para lâmpadas. De uma caixa com 10 lâmpadas, das quais 6 estão boas, retiram-se 3 lâmpadas ao acaso e colocam-se as mesmas nos bocais. Qual a probabilidade de que:
Todas acendam? b) pelo menos uma lâmpada acenda?
44- Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas , 3 azuis e 2 amarelas. Extraem-se simultaneamente 5 bolas. Qual a probabilidade de que saiam 2 bolas pretas, 2 azuis e uma amarela?
45- Duas pessoas lançam cada uma três moedas. Qual a probabilidade de que tirem o mesmo número de coroas?
46- Duas lâmpadas ruins são misturadas com duas lâmpadas boas. As lâmpadas são testadas uma a uma, até que duas ruins sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a última ruim seja encontrada no: a) segundo teste b) terceiro teste c) quarto teste.
47- A experiência mostra que determinado aluno A tem probabilidade 0,9 de resolver e acertar um exercício novo que lhe é proposto. Seis novos exercícios são apresentados ao aluno A para serem resolvidos. Qual a probabilidade que resolva e acerte no máximo dois exercícios?
48- Uma urna tem 5 bolas verdes, 4 azuis e 5 brancas. Retiram-se 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam brancas?
49- Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de 3 fábricas distintas X, Y,e Z. X produziu 500, das quais 400 são boas. Y produziu 700, das quais 600 são boas e Z as restantes, das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas, nesse supermercado, qual a probabilidade de que seja boa?
50- Considerando o exercício 48: Sendo a lâmpada escolhida DEFEITUOSA, qual a probabilidade que tenha sido produzida pela fabrica X?
51- Dez cartas são extraídas aleatoriamente de um baralho usual de 52 cartas. Qual a probabilidade de todas serem de copas ?
52- Um professor de probabilidade propôs a seus alunos o seguinte problema:"SÃO DADAS DUAS MOEDAS, UMA PERFEITA (probabilidade de cara igual 1/2), E OUTRA COM DUAS CARAS. UMA MOEDA É ESCOLHIDA AO ACASO E LANÇADA TRÊS VEZES. QUAL A PROBABILIDADE QUE SEJAM OBTIDAS 3 CARAS?