Progressão Aritmética
Make your own free website on Tripod.com
Aritméticas
Progressão aritmética é 
uma sequência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão.


Logo abaixo temos alguns exercícios de progressões aritméticas resolvidos.

1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.



2) Interpole  seis meios aritméticos entre -8 e 13.


3) Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
 4) Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.
 5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.

6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:



7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:


8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.




PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

1 - Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3
2 - Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e a n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
................................................
................................................
Infere-se (deduz-se) que: a n = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k
Exemplos: 
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 
Então 16 = q4 = 24 e portanto q = 2.
3 - Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.
P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2
4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an 
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q . Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos: 

Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50
Agora que você estudou a teoria, tente resolver as seguintes questões:
Veja o gabarito no final da página.
1) Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , podemos afirmar que a2 + b2 + c2 é igual a:
2) Sendo S = 1 + 2 + 0,5 + 4 + 0,25 + 8 + 0,125 + ... + 64 + 1/64 , então 5S vale:
3) Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos.Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:
a)1 
b)10 
c)100 
d)-1 
e)-10
4) O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a:
a)1/x 
b)x 
c)2x 
d)n.x 
e)1978x
5) Se o limite da soma de uma PG infinita é 18 , o seu primeiro termo é 3 e a razão é r , então 100r é igual a:
6 - UEFS -O primeiro e o quinto termos de uma progressão geométrica são respectivamente 4/5 e 8000. A razão dessa progressão é:
7 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a)28° 
b)32° 
c)36° 
d)48° 
e)50° 


GABARITO: 
1) 819 2) 630 3) B 4) B 5) 250/3 6) 10 7) D