Números Complexos
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Números Complexos        3º ano

Introdução
Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais, a equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por:
x = -7/2
assim, o conjunto solução será:
S= { 7/2 }
no entanto, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é:
S = { }
Analogamente, se tentarmos obter o conjunto solução para a equação x2 + 1 = 0 sobre o conjunto dos números reais, teremos como resposta o conjunto vazio, isto é:
S = { }
o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:
x =i
onde i é a raiz quadrada do número real -1.
Isto parece não ter significado prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato de substituirpela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos.

Definição de número complexo
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma
z = a + b i
onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:
a = Re(z)
b = Im(z)
Exemplos de tais números são apresentados na tabela.
Número complexo	Parte real	Parte imaginária
2 + 3 i	2	3
2 - 3 i	2	-3
2	2	0
3 i	0	3
-3 i	0	-3
0	0	0
Observação importante: O conjunto de todos os números complexos será denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z = x + y i, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

Definições com números complexos
· Igualdade de números complexos
Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, definimos a igualdade entre z e w, escrevendo
z = w se, e somente se, a = c e b = d
Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3.
· Oposto de um número complexo
O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo -z=(-a)+(-b)i, isto é:
Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i
O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i.
· Conjugado de um número complexo
O número complexo conjugado de z=a+bi é o número z-=a-bi, isto é:
Conjugado(a+bi) = a + (-b)i
O conjugado de z=2-3i é o número complexo z-= 2+3i.

Operações básicas com números complexos
Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:
z + w = (a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i
z . w = (a+bi) . (c+di) = (ac-bd) +(ad+bc)i
Observação: Estas operações nos lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx) + (c+dx) = (a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:
a + b x
c + d x X
ac + bcx
adx + bdx2
ac +(bc+ad)x + bdx2
de forma que devamos trocar x2 por -1.
Exemplos:
Se z=2+3i e w=4-6i, então
z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i
Se z=2+3i e w=4-6i, então
z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i

Potências da unidade imaginária
Quando tomamos
i =raiz quadrada de -1
temos uma série de valores muito simples para as potências de i.
Potência	i	i2	i3	i4	i5
Valor		-1	-i	1	i
Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.
Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998
Como exemplo:
i402=i400.i2=1.(-1)=-1

Curiosidade sobre a unidade imaginária
Ao pensar um número complexo como um vetor no plano cartesiano, a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta em um outro número complexo w=-b+ai, que forma um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z dado originalmente.

Exercício: Tome um número complexo z multiplique por i para obter z1=i.z, depois multiplique o resultado z1 por i para obter z2=i.z1 e continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então use a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. Após a constatação que você é inteligente, faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.

O inverso de um número complexo
Dado um número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) podemos definir o inverso deste número complexo como o número z-1=u+iv, de tal forma que
z . z-1 = 1
Basicamente, o produto z pelo seu inverso z-1 deve ser 1, isto é:
(a+bi).(u+iv)=(au-bv)+(av+bu)i=1=1+0.i
o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:
a u - b v = 1
b u + a v = 0
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:
u = a / (a2+b2)
v = -b / (a2+b2)
assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

Exemplo: O inverso do número complexo z=5+12i é
z-1=(5/169) -(12/169)i

Processo para obter o inverso
de um número complexo
Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se :
1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração

2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z

3. Lembrando que i2 = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes.

Observação: Na última igualdade (proporção) o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

A diferença entre números complexos
A diferença entre os números complexos z=a+bi e w=c+di é definida como o número complexo obtido pela soma entre z e o oposto de w, isto é:
z - w = z + (-w)
Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i, é:
z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i

A divisão entre números complexos
A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e o inverso de w, isto é:
z / w = z . w-1
Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e também o denominador da fração z/w pelo conjugado de w:


Representação geométrica
de um número complexo
Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser representado geometricamente no plano cartesiano, como sendo um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0,0) do sistema.


Módulo de um número complexo
No gráfico anterior podemos observar que existe um triângulo retângulo cuja hipotenusa correspondente à distância entre a origem 0 e o número complexo z, normalmente denotada pela letra grega ro, o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z.
Desse modo, se z = a + b i é um número complexo, então:

e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto é:


Argumento de um número complexo
O ângulo formado entre o segmento OZ e o eixo OX, aqui representado pela letra grega alfa, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações:

Por experiências com programação na Internet, observei que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.

Forma polar de um número complexo
Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos escrever:

e assim temos a forma polar do número complexo z:


Multiplicação de números complexos
dados na forma polar
Consideremos os números complexos
z = r (cos m + i sen m)
w = s (cos n + i sen n)
onde, respectivamente, r e s são os módulos, e, m e n são os argumentos destes números complexos z e w.
Podemos realizar o produto entre estes números da forma usual e depois reescrever este produto na forma:
z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]
Este fato é garantido pelas relações:
cos(m+n)=cos(m).cos(n)-sen(m).sen(n)
sen(m+n)=sen(m).cos(n)+sen(n).cos(m)

Potência de um número complexo
dado na forma polar
Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo
z = r (cos m + i sen m)
como:
zk = rk (cos km + i sen km)
Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é igual à raiz quadrada de 2 e o argumento é igual a 1/4 de pi (45 graus). Para elevar este número à potência 16, basta escrever:
z16=28[cos(16x45o)+isen(16x45o)]=256

Raiz quarta de um número complexo
Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja um número real negativo, o que significa, resolver uma equação algébrica de grau 4.

Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16, basta encontrar as quatro raízes da equação algébrica x4 + 16 = 0.

Antes de seguir em nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número complexo w, necessitamos antes de tudo, saber o seu módulo r e o seu argumento t, o que significa poder escrever:
w = r (cos t + i sen t)
O primeiro passo é realizar um desenho mostrando este número complexo w em uma circunferência de raio r e observar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o número complexo w.

O passo seguinte é obter um outro número complexo z1 cujo módulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a primeira das quatro raizes complexas procuradas.
z1=r1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)]
As outras raízes são:
z2 = i . z1
z3 = i . z2
z4 = i . z3
e todas elas aparecem no gráfico:

Observação: O processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou muito facilitado pois conhecemos a propriedade geométrica que o número complexo i multiplicado por outro número complexo, roda este último de 90 graus e outro fato interessante é que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus. Se os quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em relação ao eixo OX.

Raiz n-ésima de um número complexo
Antes de continuar, apresentaremos a importantíssima relação de Euler:
ei.t = cos t + i sen t
que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2,71828...
Para facilitar a escrita usamos frequentemente:
exp(i.t) = cos t + i sen t
Observação: A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo os mais importantes sinais e constantes da Matemática:

Voltemos agora à exp(i.t). Se multiplicarmos o número ei.t por um número complexo z, o resultado será um outro número complexo rodado de t radianos em relação ao número complexo z.
Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z por

obteremos um número complexo z1 que forma com z um ângulo pi/8=22,5o, no sentido anti-horário.

Iremos agora resolver a equação xn = w , onde n é um número natural e w é um número complexo.
Da mesma forma que antes, podemos escrever o número complexo
w = r (cos t + i sen t)
e usando a relação de Euler, escreveremos:
w = r ei.t
Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo número complexo
z1 = r1/n ei.t/n
Todas as outras n-1 raízes são obtidas pela multiplicação recursiva dada por:

com k variando de 2 até n.
Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x8=-64, observamos a posição do número complexo w = -64 + 0 i, constatando que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é um ângulo raso (pi).

Aqui a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é pi/8, então z1 pode ser escrita na forma polar:

As outras raízes serão obtidas pela multiplicação do número complexo abaixo, através de qualquer uma das três formas:

ou ainda pela forma simplificada:

Assim:
z2 = z1 .
z3 = z2 .
z4 = z3 .
z5= z4 .
z6= z5 .
z7= z6 .
z8= z7 .
Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8 números complexos e ligue todas as raízes consecutivas para obter um octógono regular rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente comparar este método com outros que você conhece e realize exercícios para observar como aconteceu o aprendizado.

Observação: Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

NÚMEROS COMPLEXOS - Parte 2
Nota: Se necessário, reveja a parte 1 de Números complexos, nesta página, para refrescar a memória no assunto.
1 - A forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo
1.1 - Módulo e argumento
Considere a figura a seguir:

Sendo P o afixo do número complexo z , de módulo ½ z½ , no triângulo OaP, podemos escrever:
cosa = a / ½ z½ \ a = ½ z½ . cosa e b = ½ z½ . sena
· O ângulo a é denominado argumento do número complexo z e a distância OP é denominada módulo do complexo e representada por ½ z½ , ou pela letra grega r (rô).
· No triângulo retângulo AoP , podemos escrever a seguinte expressão para a determinação da tangente do ângulo a : onde 0º £ a £ 360º
· Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo AoP, podemos escrever a seguinte relação para calcular o módulo do número complexo z:
= r
Obs:
1. é usual representar o módulo de um número complexo, pela letra grega r
(rô)
2) Um número complexo de módulo r e argumento q , pode ser representado pelo símbolo z = r Ð q . (Esta simbologia é muito utilizada nos estudos mais avançados de Eletricidade. Para o vestibular, esta notação não tem grande interesse).
EXEMPLO:
Dado o número complexo z = 1 + Ö 3 i , determine o módulo e o argumento de z.
a. Módulo: ou seja r = 2.
b. Argumento: tg a = b / a = Ö 3 / 1 = Ö 3 Þ a = 60º = p / 3 rad (radianos).
1.2- Forma polar de um número complexo
Sendo z = a + bi e substituindo os valores de a e b vistos acima, vem:
z = ½ z½ (cosa + i . sena ) , denominada forma polar ou trigonométrica do número complexo.
Assim, o número complexo do exemplo anterior, poderá ser escrito na forma polar como segue:
z = 2(cos60º + i.sen60º)
Exemplos:
z = 10(cos30º + i.sen30º) = 10(Ö 3 / 2 + i . 1 /2) = 5Ö 3 + 5i
w = 2(cos0º + i.sen0º) = 2(1 + i .0) = 2
r = 5(cos90º + i . sen90º) = 5(0 + i . 1) = 5i
s = 100(cos180º + i . sen180º) = 100( -1 + i . 0) = - 100
u = cos 270º + i . sen270º = 0 + i .(-1) = - i
Nota: A forma polar de um número complexo, é especialmente interessante para o cálculo de potências e raízes de números complexos, conforme veremos adiante.
2 - OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLAR
Não é usual efetuar-se adições ou subtrações de números complexos na forma polar, devido ao fato de que estas operações com os números complexos na forma algébrica, são bem mais fáceis de realizar. Se os números complexos estiverem na forma polar, para somá-los (ou subtraí-los), primeiro converta-os para a forma binômia ou algébrica e efetue os cálculos.
Exemplo:
z = 10(cos 0º + i . sen 0º) = 10 (1 + i . 0) = 10
w = 5(cos 90º + i . sen 90º) = 5 (0 + i . 1) = 5i
z + w = 10 + 5i
Mostraremos a seguir, as fórmulas para multiplicação, divisão e potenciação de números complexos.
Sejam os números complexos:
z1 = r 1(cosq 1 + i . senq 2) , z2 = r 2(cosq 2 + i . senq 2) e z = r (cosq + i . senq ) .
Temos as seguintes fórmulas, demonstráveis sem excessivo trabalho:
F1) PRODUTO
z1 . z2 = r 1 . r 2 [cos(q 1 + q 2) + i . sen(q 1 + q 2)]
EXEMPLO: z1 = 15(cos30º + i . sen30º) e z2 = 3(cos60º + i . sen60º).
z1 . z2 = 15.3[cos(30º + 60º) + i . sen(30º + 60º)] = 45(cos90º + i . sen90º) =
45(0 + i . 1) = 45i
F2) DIVISÃO

EXEMPLO:
z1 = 10(cos120º + i . sen120º) e z2 = 5(cos30º + i . sen30º)
z1 / z2 = 10 /5 [cos(120º - 30º) + i . sen(120º - 30º)] = 2(cos90º + i . sen90º) = 2(0+i . 1) = 2i
F3) POTENCIAÇÃO
zn = r n(cos n.q + i . sen n.q )
EXEMPLO
z = 10(cos30º + i . sen30º)
z3 = 103(cos3.30º + i . sen3.30º) = 1000(cos90º + i . sen90º) = 1000(0 + i . 1) = 1000i
z9 = 109(cos9.30º + i . sen9.30º) = 109(cos270º + i . sen270º) = 109[0 + i . (-1)] = 109.i

NÚMEROS COMPLEXOS -
2) Um número complexo de módulo r e argumento q , pode ser representado pelo símbolo z = r Ð q . (Esta simbologia é muito utilizada nos estudos mais avançados de Eletricidade. Para o vestibular, esta notação não tem grande interesse).
EXEMPLO:
Dado o número complexo z = 1 + Ö 3 i , determine o módulo e o argumento de z.
a. Módulo: ou seja r = 2.
b. Argumento: tg a = b / a = Ö 3 / 1 = Ö 3 Þ a = 60º = p / 3 rad (radianos).
1.2- Forma polar de um número complexo
Sendo z = a + bi e substituindo os valores de a e b vistos acima, vem:
z = ½ z½ (cosa + i . sena ) , denominada forma polar ou trigonométrica do número complexo.
Assim, o número complexo do exemplo anterior, poderá ser escrito na forma polar como segue:
z = 2(cos60º + i.sen60º)
Exemplos:
z = 10(cos30º + i.sen30º) = 10(Ö 3 / 2 + i . 1 /2) = 5Ö 3 + 5i
w = 2(cos0º + i.sen0º) = 2(1 + i .0) = 2
r = 5(cos90º + i . sen90º) = 5(0 + i . 1) = 5i
s = 100(cos180º + i . sen180º) = 100( -1 + i . 0) = - 100
u = cos 270º + i . sen270º = 0 + i .(-1) = - i
Nota: A forma polar de um número complexo, é especialmente interessante para o cálculo de potências e raízes de números complexos, conforme veremos adiante.
2 - OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLAR
Não é usual efetuar-se adições ou subtrações de números complexos na forma polar, devido ao fato de que estas operações com os números complexos na forma algébrica, são bem mais fáceis de realizar. Se os números complexos estiverem na forma polar, para somá-los (ou subtraí-los), primeiro converta-os para a forma binômia ou algébrica e efetue os cálculos.
Exemplo:
z = 10(cos 0º + i . sen 0º) = 10 (1 + i . 0) = 10
w = 5(cos 90º + i . sen 90º) = 5 (0 + i . 1) = 5i
z + w = 10 + 5i
Mostraremos a seguir, as fórmulas para multiplicação, divisão e potenciação de números complexos.
Sejam os números complexos:
z1 = r 1(cosq 1 + i . senq 2) , z2 = r 2(cosq 2 + i . senq 2) e z = r (cosq + i . senq ) .
Temos as seguintes fórmulas, demonstráveis sem excessivo trabalho:
F1) PRODUTO
z1 . z2 = r 1 . r 2 [cos(q 1 + q 2) + i . sen(q 1 + q 2)]
EXEMPLO: z1 = 15(cos30º + i . sen30º) e z2 = 3(cos60º + i . sen60º).
z1 . z2 = 15.3[cos(30º + 60º) + i . sen(30º + 60º)] = 45(cos90º + i . sen90º) =
45(0 + i . 1) = 45i
F2) DIVISÃO

EXEMPLO:
z1 = 10(cos120º + i . sen120º) e z2 = 5(cos30º + i . sen30º)
z1 / z2 = 10 /5 [cos(120º - 30º) + i . sen(120º - 30º)] = 2(cos90º + i . sen90º) = 2(0+i . 1) = 2i
F3) POTENCIAÇÃO
zn = r n(cos n.q + i . sen n.q )
EXEMPLO
z = 10(cos30º + i . sen30º)
z3 = 103(cos3.30º + i . sen3.30º) = 1000(cos90º + i . sen90º) = 1000(0 + i . 1) = 1000i
z9 = 109(cos9.30º + i . sen9.30º) = 109(cos270º + i . sen270º) = 109[0 + i . (-1)] = 109.i
ARCO	0º	90º	180º	270º	360º
cos	1	0	-1	0	1
sen	0	1	0	-1	0
A fórmula da radiciação, pela sua importância e seus aspectos peculiares, será mostrada num texto à parte, a ser publicado a seguir. Aguardem!
Um aspecto interessante da fórmula de potenciação de números complexos, é obtido fazendo-se r = 1 ( ou seja, considerando o módulo r do complexo, igual a 1) na fórmula F3 acima:
Teremos então:
z = cosq + i . senq
zn = cos(nq ) + i . sen(nq )
Substituindo o valor de z , vem, finalmente:
(cosq + i . senq )n = cos(nq ) + i . sen(nq )
Esta fórmula é conhecida como Fórmula de MOIVRE .
MOIVRE = (lê-se Moavre) - Abraham De Moivre (1667-1754) - matemático francês. Viveu a maior parte de sua vida na Inglaterra. Além de contribuições à teoria dos números complexos, deixou importantes trabalhos sobre a teoria das probabilidades e sobre trigonometria. Um aspecto singular sobre Moivre é que , por não possuir cidadania britânica, ele não conseguiu ensinar nas Universidades inglesas, não obstante a sua genialidade!
Vamos agora, deduzir as fórmulas trigonométricas do seno e coseno do arco duplo, com a utilização da fórmula de Moivre:
Para isto, façamos n = 2 na fórmula de Moivre. Vem:
(cosa + i . sena)2 = cos2a + i . sen2a
Desenvolvendo o primeiro membro e igualando, vem:
cos2a + 2 . cosa . i . sena + i2 . sen2a = cos2a + i . sen2a
Lembrando que i2 = -1, vem:
cos2a - sen2a + i . 2sena.cosa = cos2a + i . sen2a
Ora, para que a igualdade acima seja verdadeira, deveremos ter necessariamente:
cos2a = cos2a - sen2a
sen2a = 2.sena.cosa
Estas são as fórmulas trigonométricas do arco duplo, elegantemente e facilmente deduzidas sem complicações, pela fórmula de Moivre.
NOTA: Como sabemos da Trigonometria que sen2a + cos2a = 1, vem que:
sen2a = 1 - cos2a e
cos2a = 1 - sen2a
Daí, é que substituindo os valores acima na fórmula do coseno do arco duplo (cos2a), fica:
cos2a = 2cos2a - 1
cos2a = 1 - 2sen2a
Estas são importantes fórmulas trigonométricas, de interesse para questões de vestibulares.
Se lhe pedissem no vestibular, (numa prova da 2ª fase) , para calcular sen3a e cos3a, como você resolveria? É simples!
Basta considerar na fórmula de Moivre, n = 3.
Tente! Você obteria:
cos3a = cos3a - 3.sen2a.cosa
sen3a = 3.cos2a.sena - sen3a
Tente!
Em caso de dúvida, mande-me e-mail.



ARCO	0º	90º	180º	270º	360º
cos	1	0	-1	0	1
sen	0	1	0	-1	0
A fórmula da radiciação, pela sua importância e seus aspectos peculiares, será mostrada num texto à parte, a ser publicado a seguir. Aguardem!
Um aspecto interessante da fórmula de potenciação de números complexos, é obtido fazendo-se r = 1 ( ou seja, considerando o módulo r do complexo, igual a 1) na fórmula F3 acima:
Teremos então:
z = cosq + i . senq
zn = cos(nq ) + i . sen(nq )
Substituindo o valor de z , vem, finalmente:
(cosq + i . senq )n = cos(nq ) + i . sen(nq )
Esta fórmula é conhecida como Fórmula de MOIVRE .
MOIVRE = (lê-se Moavre) - Abraham De Moivre (1667-1754) - matemático francês. Viveu a maior parte de sua vida na Inglaterra. Além de contribuições à teoria dos números complexos, deixou importantes trabalhos sobre a teoria das probabilidades e sobre trigonometria. Um aspecto singular sobre Moivre é que , por não possuir cidadania britânica, ele não conseguiu ensinar nas Universidades inglesas, não obstante a sua genialidade!
Vamos agora, deduzir as fórmulas trigonométricas do seno e coseno do arco duplo, com a utilização da fórmula de Moivre:
Para isto, façamos n = 2 na fórmula de Moivre. Vem:
(cosa + i . sena)2 = cos2a + i . sen2a
Desenvolvendo o primeiro membro e igualando, vem:
cos2a + 2 . cosa . i . sena + i2 . sen2a = cos2a + i . sen2a
Lembrando que i2 = -1, vem:
cos2a - sen2a + i . 2sena.cosa = cos2a + i . sen2a
Ora, para que a igualdade acima seja verdadeira, deveremos ter necessariamente:
cos2a = cos2a - sen2a
sen2a = 2.sena.cosa
Estas são as fórmulas trigonométricas do arco duplo, elegantemente e facilmente deduzidas sem complicações, pela fórmula de Moivre.
NOTA: Como sabemos da Trigonometria que sen2a + cos2a = 1, vem que:
sen2a = 1 - cos2a e
cos2a = 1 - sen2a
Daí, é que substituindo os valores acima na fórmula do coseno do arco duplo (cos2a), fica:
cos2a = 2cos2a - 1
cos2a = 1 - 2sen2a
Estas são importantes fórmulas trigonométricas, de interesse para questões de vestibulares.
Se lhe pedissem no vestibular, (numa prova da 2ª fase) , para calcular sen3a e cos3a, como você resolveria? É simples!
Basta considerar na fórmula de Moivre, n = 3.
Tente! Você obteria:
cos3a = cos3a - 3.sen2a.cosa
sen3a = 3.cos2a.sena - sen3a
Tente!









NÚMEROS COMPLEXOS - Conclusão
RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Seja o número complexo z = r (cosq + i . senq ). Para o cálculo das raízes e-nésimas do complexo z, ou seja, para o cálculo de , deveremos utilizar a seguinte fórmula:

onde k = 0,1,2,3, ... , n - 1.
Esta fórmula é aparentemente assustadora, não é?!
Vamos então, por partes.
1 - O ângulo q (argumento do complexo) deve ser expresso em graus. Se você preferir usar a unidade radiano, ao invés de 360.k, deverá ser usado 2kp , pois 360 graus = 2p radianos.
2 - Como k = 0,1,2,.3, ... , n -1, então são n valores possíveis para a variável k, o que significa que existem n raízes e-nésimas de z. Ou seja: 2 raízes quadradas, três raízes cúbicas, quatro raízes quartas, cinco raízes quintas, etc.
3 - Observe que todas as n raízes e-nésimas de z possuem o mesmo módulo.
Vamos determinar, como exemplo, as três raízes cúbicas da unidade.
Seja o número complexo z = 1 (unidade).
Podemos escrever na forma polar: z = 1 (cos 0º + i . sen 0º)
Temos então:
módulo: r = 1
argumento: q = 0º = 0 rad
Substituindo na fórmula dada, vem:

Fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz, ou seja:
z1 = 1(cos 0º + i . sen 0º) = 1(1 + i . 0) = 1
Fazendo k = 1, obteremos a segunda raiz, ou seja:
z2 = 1(cos 120º + i . sen 120º) = -1/2 + i . Ö 3 / 2
Finalmente, fazendo k = 2, obteremos a terceira e última raiz:
z3 = 1(cos 240º + i . sen 240º) = -1 /2 - i . Ö 3 / 2
Um detalhe importante pode ser visualizado no exemplo acima: os argumentos das raízes são 0º, 120º e 240º , que são termos de uma progressão aritmética de razão 120º. Isto não é uma coincidência! Veja a dica D1 abaixo:
D1: As n raízes enésimas de um número complexo de argumento q , possuem argumentos que formam uma P. A . de primeiro termo q / n e razão 360º / n.
Sabendo disto, poderemos simplificar o cálculo das raízes de um número complexo.Por exemplo, vamos calcular as raízes quadradas da unidade imaginária:
Temos z = i ( i = unidade imaginária).
Portanto, z = 1(cos 90º + i . sen 90º)
módulo: r = 1
argumento: q = 90º
Como queremos as raízes quadradas, temos n = 2. Pela dica acima, os argumentos das raízes formarão uma P. A . de primeiro termo 90º / 2 = 45º e razão igual a 360 / n = 360 / 2 = 180º. Logo, basta determinar a primeira raiz e usar esta informação para calcular a segunda e última raiz.
Temos:

1ª raiz: fazendo k = 0, vem z1 = 1(cos 45º + i . sen 45º) = Ö 2 / 2 + i . Ö 2 / 2
2ª raiz: z2 = 1(cos 225º + i . sen 225º) = - Ö 2 /2 - i .Ö 2 / 2
Observe que 225º = 45º + 180º (180º = 360 / n = 360 / 2 (veja acima).
Mais um exercício resolvido para você!
Resolva a equação z6 - 16z3 + 64 = 0 , onde z Î C (C = conj. dos números complexos).
Vamos começar fazendo z3 = x ; Daí, vem z6 = (z3)2 = x2 ; substituindo, fica:
x2 - 16x + 64 = 0 \ (x - 8)2 = 0 \ x = 8
Como z3 = x , vem z3 = 8 . O problema consiste então no cálculo das raízes cúbicas de 8. Observe que 8 = 8 + 0. i ( i = unidade imaginária).
Portanto:

Sabemos que existem três raízes cúbicas; logo, fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz:
z1 = 2(cos 0º + i . sen 0º) = 2(1 + 0.i) = 2
Usando a dica D1 acima ( reveja!) , vem:
z2 = 2(cos 120º + i. sen 120º) = 2(- 1 /2 + i . Ö 3 / 2) = - 1 + Ö 3 i
z3 = 2(cos 240º + i . sen 240º) = 2[- 1 /2 + i . (- Ö 3 / 2) = -1 - Ö 3 i
Portanto, o conjunto solução da equação dada é:
S = {2; -1 + Ö 3 i; -1 - Ö 3 i}