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BINÔMIO DE NEWTON 

Resumo da Teoria
Denomina-se binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural . Exemplo: B = (3x - 2y)4 . ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4[grau do binômio] ).
Nota: Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727). Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687. 
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota: não é necessário decorar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima; observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja : 5. 
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5. Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5(ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Obs :
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2)o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes (mesma distancia) dos extremos , no desenvolvimento de (a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UM BINÔMIO DE NEWTON
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n é dado por 
Tp+1 = Cn,p . an - p .bp (Fórmula do Termo geral de um binômio de Newton).
onde Cn,p = n! / [(n-p)! . p!] .
(reveja o capítulo de Análise Combinatória - Combinações simples nesta homepage, se necessário).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.
Solução: Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3.
Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Solução: Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes.
Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 =
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4 
Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado. 
3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos . Qual o valor de n?
Solução: Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.
4 - Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :
a) (2x - 3y)12 ? Resp: 1
b) (x - y)50 ? Resp: 0
Solução:
a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1
b) analogamente, fazendo x=1 e y=1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.
5 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .
Solução: 
· termo independente de x = aquele que não possui x. 
· temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6. Pela fórmula do termo geral, podemos escrever: 
Tp+1 = C6,p . x6-p . (1/x)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p . Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.
Agora que você viu a teoria, tente resolver as seguintes questões. 
EXERCÍCIOS 
1) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?
2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .
3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do penúltimo termo do desenvolvimento de 
(x - 1)80 ?
4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:
a) 10 
b) -10 
c) 20 
d) -20 
e) 36
5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
a) 5 
b) 6 
c)10 
d) 3 
e) 4
6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.
O valor de n é:
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12
7) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a:
Resp: 248
8 - UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio 
(a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)! 
Resp: 24
9 - UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.
10 - Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)10.
Resp: 1024


Gabarito:
1) T4 = 1512.x5 2) - 128 
3) 6400 
4) D 
5) E 
6) 8 
7) 248 
8) 24
9) 84 10) 1024